قوانين الاحتمالات في الرياضيات

كتابة : دانية عمر
قوانين الاحتمالات في الرياضيات

ذات صلة

تشكل قوانين الاحتمالات في الرياضيات مجموعة من القواعد والمبادئ التي تحكم سلوك الأحداث العشوائية، وتحسب الاحتمالات لحدوث مجموعة متنوعة من الأحداث، تمثل هذه القوانين أساسًا أساسيًا في دراسة الاحتمالات وتقدير الاحتمالات وتحليل الظواهر العشوائية بشكل دقيق.

قوانين الاحتمالات في الرياضيات

يوجد أربعة قوانين رئيسية للاحتمالات في الرياضيات، ويمكن تلخيصها كالآتي:[1]

  • قانون الجمع في الاحتمالات:
  • ينص هذا القانون على أن احتمالية حدوث أحداث متعددة هي مجموع احتماليات كل حدث بمفرده.
  • ل(أ U ب) = ل(أ) + ل(ب) – ل(أ ∩ ب)
  • قانون الضرب في الاحتمالات:
  • يتعلق هذا القانون بحساب احتمالية وقوع اثنين من الأحداث المستقلة، إذا كانت الأحداث أ و ب مستقلة، فإن احتمالية وقوع كلتاهما هي ناتج ضرب احتمالية وقوع كل حدث على حدة.
  • ل(أ ∩ ب) = ل(أ) * ل(ب)
  • قانون الاحتمال المكمل:
  • قانون الاحتمال المكمل يُستخدم لحساب احتمالية حدوث حدث معاكس (أو مُتعلق بحدث آخر). فإذا كان أ حدثًا معينًا، فإن الاحتمالية المكملة لحدث أ هي الاحتمالية لحدوث أي شيء آخر غير أ.
  • ل(أ) = 1 – ل(أ)
  • قانون الاحتمال الكلي:
  • ينص هذا القانون على أن مجموع احتماليات جميع النتائج المحتملة لتجربة معينة يجب أن يكون يساوي واحد، هذا يعني أنه لا يوجد حدث يمكن أن يحدث بالتأكيد، وكل النتائج الممكنة تُغطيها احتماليات مجتمعة تساوي واحد.

أمثلة على قوانين الاحتمالات في الرياضيات

يُمكن التعرف على أمثلة على قوانين الاحتمالات في الرياضيات من خلال الجدول الآتي:

القانون المثال

قانون الجمع في الاحتمالات

 صندوق يحتوي على كرات ملونة، والهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء أو كرة زرقاء، فلنفترض أنّ احتمالية اختيار كرة حمراء هو ثلاث من عشر كرات حمراء، وأنّ احتمالية اختيار كرة زرقاء هو أربع من عشر كرات زرقاء

  • ل(حمراء U زرقاء) = ل(حمراء) + ل(زرقاء) – ل(حمراء ∩ زرقاء)
  • 3/10 + 4/10 – 1/10 = 3/5 لذا احتمالية اختيار كرة حمراء أو كرة زرقاء هي 3/5

قانون الضرب في الاحتمالات

 صندوق يحتوي على 3 كرات، كرة حمراء وكرة زرقاء وكرة خضرا، والهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء متبوعة بالاحتمالية لاختيار كرة زرقا، فإنّ:

  • احتمالية اختيار كرة حمراء:  1/3 لأن هناك كرة حمراء واحدة من بين ثلاث كرات.
  • احتمالية اختيار كرة زرقاء: بعد اختيار الكرة الحمراء، يتبقى كرة زرقاء وكرة خضراء، لذا احتمالية اختيار الكرة الزرقاء هي 1/2.

وباستخدام قانون الضرب في الاحتمالات:

  • ل(زرقاء ∩ حمراء) = ل(زرقاء) * ل(حمراء) = 1/3 & 1/2 = 1/6
    فإنّ احتمالية اختيار كرة حمراء ثم كرة زرقاء متبوعة هي 1/6.

قانون الاحتمال المكمل

 إذا كانت احتمالية أن يكون الطالب ناجحًا في اختبار الرياضيات هي 0.8، فإن احتمالية أن يكون الطالب غير ناجح (أي رسوبه) في هذا الاختبار هي:

  • ل(رسوب)=1−ل(نجاح)=1− 0.8= 0.2

قانون الاحتمال الكلي

 اذا تم إلقاء عملة فالنتيجتين المحتملتين هما ظهور قيمة العُملة وظهور شعار العُملة، حيث أنّ احتمالية ظهور قيمة العملة: 0.5 واحتمالية ظهور شعار العملة: 0.5، ويمكن استخدام قانون الاحتمال الكلي للتأكد من أن مجموع احتماليات النتائج تساوي واحد:

  • ل(قيمة العملة) + ل(شعار العملة)= 0.5+ 0.5 = 1

المراجع

  1. byjus.com , What are the Laws of Probability? , 2024-04-03